Seskok volným pádem

V tomto příkladu se budeme snažit zjistit, co se děje s odvážlivcem bez padáku ("skydriver")  při seskoku. To znamená, jak se s časem mění jeho rychlost a výška nad zemí. Pohyb se děje v homogenním gravitačním poli Země 

(Subscript[F, g]) =  m g

Přitom pohyb se bude odehrávat podél osy z orientované dolů kladně
Započítávat budeme odpor vzduchu, kdy budeme uvažovat kvadratickou závislost na rychlosti a Newtonův vztah

(Subscript[F, o]) =  -k  (v^2)   ,    k = (1/2) C S ϱ

Dále budem užívat druhý Newtonův pohybový zákon

F =  m a

Výsledná diferenciální rovnice s využitím celkové síly
F =  (Subscript[F, o]) +  (Subscript[F, g])
bude

m 
      (z^″) =  -k (((z^′))^( 2)) + m g

Řešení diferenciální rovnice

Nejdříve zapíšeme rovnici.

rce1 = {m (z^″)[t] == 
            m g - k  ((((z^′)[t]))^2)};

určíme počáteční podmínky

pocatek1 = {z[0] == 0, (z^′)[0] == 0};

a rovnici řešíme

z[t_] = z[t] /. DSolve[Join[rce1, pocatek1], {z}, t] // First // 
        Simplify

Okamžitou rychlost získáme prostou derivací

v[t_] = (z^′)[t] // Simplify

Není obtížné zjistit, že při limitě k->0 dostaneme rovnice pro volný pád v neodporujícím prostředí

Limit[{z[t], v[t]}, k -> 0]

Graf závislosti rychlosti na čase

Nejdříve si definujeme tipické hodnoty pro našeho skokana. S roztaženýma nohama a rukama jeho aerodynamické vlastnosti odpovídají vlastnostem desky o obsahu 1.1 (m^2) a koeficientem odporu 1.1 . Jeho hmotnost bude 70 kg. Spolu s ostatními konstantami dosadíme do výrazu pro rychlost a vykreslíme graf závislosti rychlosti na čase

hodnoty = {m -> 70, g -> 9.81, 
          k -> ((1/2) C S ϱ)  /. {C -> 1.1, 
              S -> 1.1, ϱ -> 1.2}};

Plot[v[t] /. hodnoty, {t, 0, 12}];

Vidíme, že z počátku rychlost rychle narůstá, ovšem po určité době se růst zpomaluje, až je rychlost téměř konstantní. To znamená, že odporová a gravitační síla jsou v rovnováze. Jak velká bude tato rychlost zjistíme limitací rovnice pro rychlost pro t->∞

Limit[v[t], t -> ∞] /. hodnoty

Přibližně takovouto rychlostí by tedy dopadl náš skydriver na zem, pokud by se mu neotevřel padák.

Graf závislosti výšky na čase

Vše potřebné máme již definované, proto můžeme rovnou vykreslit graf.

Plot[z[t] /. hodnoty, {t, 0, 12}];

Průběh samozřejmně odpovídá předešlé závislosti rychlosti na čase, od určitého okamžiku se prakticky jedná o pohyb rovnoměrný

Úkol

Vykreslete graf závislosti zrychlení skydrivera na čase.